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[数学] 什么是证明?(数里数外第四十六期) [复制链接]

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    发表于 2016-11-29 11:28:08 |显示全部楼层

    什么是证明?(数里数外第四十六期)


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            在自然科学中,真实性是通过经验方法来确立的,这些方法包括观察、测量以及(作为黄金标准的)实验。而在数学中,真实性是通过构造一个证明来确立的,证明是一个能够确立陈述的真实性的逻辑合理的认证。
            当然,“认证”(argument)一词在这里的用法,并不是日常用法中更常见到的表示两个人之间的论争。不过它与论争有点关系的地方是,一个好的证明能够先发制人地驳斥掉(含蓄地或明确地)所有可能来自读者的异议(反驳论证)。当职业数学家读一个证明时,他们通常也像律师盘问证人一般,连续不断地进行彻查和寻找破绽。
            学习如何证明是数学的一个主要内容。这并不是短短数周便能掌握的东西,它需要经年累月的训练。短期内能实现的目标,以及我在这里试图帮助你去做的是,获得一些认识,一些关于证明数学陈述指的是什么以及为什么数学家认为证明如此重要的认识。
            构造证明有两个主要目的:确立真实性和与他人交流。
            构造或者阅读证明是我们使自己确信某个陈述为真的方式。或许我直觉上认为某个数学陈述为真,但直到我证明了它,或者读到了一个使我信服的证明,我才能确信它为真。
           然而,我也可能需要使其他人信服。出于这两种目的,一个陈述的证明必须能够解释为什么该陈述为真。在第一种情形中,使自己信服通常只需要我自己的论证逻辑合理,而我在一段时间后仍能跟随得上论证的思路。在第二种情形中,我需要使别人信服,这时就要求得更多了:证明中所提出的解释也必须能够让它的受众明白。为使他人信服而写的证明,不仅要求逻辑合理,还要求能成功地与他人交流。(对复杂的证明来说,要使数学家在数天、数周、数月甚至数年后仍能明白他 / 她自己的证明,这条要求同样很重要,所以即使是纯粹出于个人用途的证明,也需要能够成功地与他人交流。)
           证明必须能向预期读者传递解释,这一点为写证明树立了一个很高的门槛。某些证明十分艰深复杂,仅仅只有该领域的少数专家才能明白它们。譬如,许多世纪以来,大多数数学家都相信,或者至少强烈猜测,对指数n≥3的方程xⁿ+yⁿ=zⁿ没有x、y和z的整数解。这是由17世纪伟大的法国数学家费马提出的猜想,但直到1994年它才由英国数学家安德露·怀尔斯(Andrew Wiles)完全解决,其构造的证明很长且非常深奥。尽管大多数数学家(包括我)由于对该领域缺乏深入了解而无法明白怀尔斯的证明,但该证明的确说服了该领域(解析数论)的专家,从而费马古老的猜想现在被当作了一个定理。(由于它是费马所公布的需要证明的几条数学陈述中的最后一条,所以现在普遍把它叫做费马最后的定理。)
           然而,费马最后的定理只是一个个例。尽管某些证明需要数天、数周甚至数月的时间才能被人读懂并相信,但数学中大多数证明都能被任何一个职业数学家读懂。
           证明数学陈述远远不只是为其搜集证据这么简单。举一个著名的例子,18世纪中期,伟大的瑞士数学家欧拉声称,他相信每一个大于2的偶数都能被写成两个素数的和。偶数的这条性质是哥德巴赫向他提出的,从而被叫做哥德巴赫猜想。计算机程序能够对许多具体的偶数检验这条陈述,目前为止(2012年7月),已验证完到1.6×1018 为止的所有数。大多数数学家都相信它是真的,但它至今尚未被证明。
           要否证该猜想则只需找到一个偶数n,使得对n能证明没有两个素数的和为n。
           顺便说一句,数学家并没有觉得哥德巴赫猜想很重要。数学中并没有其已知的应用,甚至连任何重要的推论都没有。它在数学中这么出名,完全只是因为它很好理解,有欧拉的支持,并且在两百五十多年里一直未被证明。
           无论中学时是怎么教的,证明并不需要具有某种特定的形式。而它绝对必需的一项要求是,它是一个逻辑合理的推理,能够证明某条陈述的真实性。另一项次要的要求是,它表达得够好,使其预期读者稍作努力 便能读懂该推理。职业数学家的预期读者通常是另一个在相同数学领域的专家。为学生或者外行而写的证明则通常需要提供更多的解释。
            这意味着,为了构造一个证明,你必须能确定什么能够构成一个逻辑合理的认证,使其不仅能让你自己信服,也能让你自己信服,也能让预期读者信服。你无法把这件事情化约为一系列的规则。构造数学证明是人类思维最具创造性的一种活动,只有相对很少的人才能给出真正的原创证明。不过,通过努力,任何具有一定才智的人都能掌握其基础。我的目标也正在于此。
           我在第2章(指《数学思维导论:学会像数学家一样思考》中第2章,小编注)给出的欧几里得关于存在无穷多个素数的证明,是说明证明需要独具慧眼的一个好例子。在该证明中有两个创造性的想法。其中之一是,素数的枚举到任何一步,p1,p2,p3,…,pn 都能继续进行下去(这用一种迂回的方式证明了无穷)。另一个想法是,考虑到数(p1p2p3…pn)+1 我估计我们中的大多数人最终都能想到第一个想法,我愿意相信自己应该最终能想到。(当我还是一个少年时,我是从书中直接读到了这个证明。当时我就想,要是作者把证明暂时藏起来,以此考验读者,让他们自己寻找答案该多好,这样我也能有一次尝试的机会。)不过第二个创造性的想法则完全是天才之举。我也愿意相信自己应该最终能琢磨出这个想法,但我无法肯定。这也正是我认为欧几里得的证明如此令人愉悦,从而陶醉于其精彩的核心思想的原因。



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