有趣的数学—拓扑与地图上色（数里数外第七十四期）

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有趣的数学—拓扑与地图上色（数里数外第七十四期）

有趣的数学

    一个偶然的机会看了西奥妮·帕帕斯（TheoniPappas）的《发现数学——原来数学这么有趣》【何竖芬译】一书，自己对数学有了新的认识。在自己从教二十多年的经历中，没多少同学感觉数学是有趣的，因此感觉自己有义务告诉同学们数学在我们的生活中无处不在，数学本就是人们生活体验的结晶。正如西奥妮·帕帕斯在序言中说道：想要体验数学的乐趣，你需要认识到数学不是孤立的学科，它就存在于我们周围的事物中，因此，不要让自己埋头于烦琐的运算，劳心费神，没完没了。而且，很少有人抓住数学的真谛——它与我们的生活和周围环境是那样紧密地联系在一起，数学概念甚至与生俱来就存在于生命细胞的结构里。

       本书通过描述数学在生活中的具体体现，旨在帮助你认识到数学与 世界是密不可分的。

       数学的乐趣与你第一次发现其他新鲜事物是相似的，它几乎是小孩 子才有的一种好奇，而一旦体验到了，你就再也忘记不了——就如同你第一次透过显微镜观察到你以前所看不到的周围的事物一样，是那么地兴奋和快乐。

       西奥妮·帕帕斯（TheoniPappas）是一位数学教师和顾问，1966年获伯克利加州大学学士学位，1967年获斯坦福大学硕士学位。她致力于消除数学中的神秘感以及与此有关的优越感和恐惧感。

    在地图绘制人当中，有一个从未证明过的原则，就是给平面地图或地球仪上色时，只需要使用四种颜色就可以区别出不同国家。在 1976年，地图的四色问题非常著名，伊利诺依州大学的K•阿佩尔（K.Appel)，和W•哈肯 (W,Haken)利用计算机进行了验证，但是他们的证明在以后还是受到了挑战。

        问题就是要证明平面地图只需要四种颜色就能将相邻区域区别开。

    更进一步地，目前，人们已经将地图上色与不同的拓扑模型结合在一起。拓扑学者研究了各种独特的外形——圆环图案、纽结图案、莫比乌斯形图案，对于他们来说，一个球面可以变形为一个平面，只要在里面打孔或把它拉直和砸平。所以，从本质上说，球面和平面所需要的上色是一样的。拓扑研究的是当物体变形后，其性质不变——变形是指拉直或收缩，就像是橡胶皮一样。在这种情况下，物体到底哪些性质能保持不变呢？既然变形是允许的，那么我们可以意识到，拓扑解决不了尺寸、形状或硬性物体。拓扑学家在探究的一些特征，是曲线内或外的某个点的位置或定位，该对象有多少面，是否为简单闭曲线，以及有多少个内侧和外侧。鉴于这些拓扑对象，地图上色就成为一个全新的问题， 因为四色方法不再适用了。

  

         试着在一张纸上给地图上色，然后折成莫比乌斯拓扑图形（弯曲半圈，然后把两端接起来）。上四种颜色足够吗？是不够的。

        就任意一个地图而言，你认为最少需要几种颜色才够呢？在圆环面上做相同实验（它有一个圆环面）。最简单的实验方法 是把圆环面预先当做一张纸，在纸的一个面上色，然后卷成圆柱，想象着把圆柱弯曲后，其两端被接起来，这样就做成了圆环。你认为给圆环上色，最少需要多少种颜色呢？